Misión: Desigualdades Racionales Hackeando los puntos críticos paso a paso (Nivel Universitario)
LA TEORÍA: REGLAS DEL JUEGOUna desigualdad racional tiene la forma $$\frac{P(x)}{Q(x)} > 0$$ (puede ser $<$, $\ge$ o $\le$). El objetivo es encontrar las zonas (intervalos) de la recta numérica que hacen que la fracción cumpla la condición.
ZONA DE PELIGRO (Error fatal):
EL ALGORITMO (Pasos a seguir):- Asegúrate de que un lado de la desigualdad sea CERO. Si hay números, pásalos restando y opera las fracciones.
- Factoriza al máximo el numerador y el denominador.
- Halla los Puntos Críticos igualando cada factor a cero.
- Dibuja la recta, ubica los puntos y evalúa los signos (+ y -) en cada sector.
- ¡IMPORTANTE! Los puntos críticos del denominador SIEMPRE VAN ABIERTOS (no se pintan), porque no se puede dividir entre cero.
FASE 1: EJERCICIOS RESUELTOS (Subiendo de Nivel)Nivel 1 (Tutorial): Resuelve $$\frac{x - 4}{x + 2} > 0$$
Solución:
Numerador: $x - 4 = 0 \implies x = 4$
Denominador: $x + 2 = 0 \implies x = -2$ (Siempre abierto).
Como nos piden la zona mayor a cero ($>0$), tomamos los sectores positivos.
Nivel 2 (Intervalos Cerrados): Resuelve $$\frac{2x - 6}{x - 1} \le 0$$
Solución:
Numerador: $2x - 6 = 0 \implies x = 3$. Como es $\le$, el punto va cerrado (pintado).
Denominador: $x - 1 = 0 \implies x = 1$. Aunque sea $\le$, el denominador siempre es abierto.
Nos piden la zona menor o igual a cero, tomamos el sector negativo.
Nivel 3 (Trampa del Signo Negativo): Resuelve $$\frac{5 - x}{x + 3} \ge 0$$
Comentario del Profesor: ¡Cuidado! La $x$ del numerador es negativa. Para evitar errores, multiplicamos todo por $-1$, lo que invierte el símbolo de la desigualdad.
Queda: $$\frac{x - 5}{x + 3} \le 0$$
Puntos críticos: $x = 5$ (cerrado) y $x = -3$ (abierto).
► C.S.: $x \in \langle -3, 5 ]$
Nivel 4 (Multiplicidad Par - El Rebote): Resuelve $$\frac{(x - 2)^2}{x - 5} > 0$$
Comentario del Profesor: El factor $(x-2)^2$ siempre es positivo (salvo en $x=2$). Esto hace que el signo "rebote" en la recta numérica en vez de alternar.
Puntos críticos: $x = 2$ (repite signo) y $x = 5$.
► C.S.: $x \in \langle 5, +\infty \rangle$ (Ojo, $x=2$ no se incluye porque la desigualdad es estricta $>0$).
Nivel 5 (Boss Fight - Operación Previa): Resuelve $$\frac{x}{x - 2} \le 1$$
Solución: Pasamos el 1 restando: $$\frac{x}{x - 2} - 1 \le 0 \implies \frac{x - (x - 2)}{x - 2} \le 0 \implies \frac{2}{x - 2} \le 0$$
El numerador es positivo (2), así que para que la fracción sea negativa, el denominador debe ser negativo.
► C.S.: $x - 2 < 0 \implies x < 2 \implies x \in \langle -\infty, 2 \rangle$
FASE 2: ENTRENAMIENTO (¡Inténtalo antes de ver el Spoiler!)Misión 1: $$\frac{x + 7}{x - 4} < 0$$
Puntos: $-7$ (abierto) y $4$ (abierto). Sector negativo. C.S.: $\langle -7, 4 \rangle$
Misión 2: $$\frac{x^2 - 16}{x + 1} \ge 0$$
Factorizamos: $\frac{(x-4)(x+4)}{x+1} \ge 0$. Puntos: $-4$ (cer), $-1$ (ab), $4$ (cer). C.S.: $[ -4, -1 \rangle \cup [ 4, +\infty \rangle$
Misión 3: $$\frac{3}{x - 1} < \frac{2}{x + 1}$$
$\frac{3}{x-1} - \frac{2}{x+1} < 0 \implies \frac{3x+3-2x+2}{(x-1)(x+1)} < 0 \implies \frac{x+5}{(x-1)(x+1)} < 0$. Puntos: $-5, -1, 1$. C.S.: $\langle -\infty, -5 \rangle \cup \langle -1, 1 \rangle$
Misión 4: $$\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 9} > 0$$
$\frac{(x-2)^2}{(x-3)(x+3)} > 0$. Rebote en $x=2$. C.S.: $\langle -\infty, -3 \rangle \cup \langle 3, +\infty \rangle$
Misión 5: $$\frac{x(x+3)^3}{(x-1)^2} \le 0$$
Rebote en $x=1$ (abierto). Cruza en $x=0$ (cer) y $x=-3$ (cer). C.S.: $[ -3, 0 ]$
FASE FINAL: RETO A LA COMUNIDAD Estos 10 ejercicios son tu prueba de fuego. No tienen spoiler. ¡Resuélvelos en tu cuaderno, publica tus respuestas aquí abajo respondiendo a este tema y te diré si subiste de nivel o si caíste en una trampa!
- $$\frac{2x - 5}{3x + 1} > 0$$
- $$\frac{4 - x}{x - 2} \le 0$$
- $$\frac{x^2 - 25}{x} < 0$$
- $$\frac{x}{x + 2} \ge 3$$
- $$\frac{1}{x} < \frac{1}{x + 3}$$
- $$\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 1} \le 0$$
- $$\frac{2}{x - 1} \ge \frac{1}{x + 2}$$
- $$\frac{(x-1)(x+2)^2}{(x-3)^3} > 0$$
- $$\frac{x^3 - x^2}{x + 4} \le 0$$
- $$\frac{x^2 + 4}{x - 2} < 0$$ (¡Ojo con el numerador!)
¡Espero sus desarrollos, futuros profesionales! Si te atascas en alguno, pregunta sin miedo.